Если я еду с детьми в Киргизию на своей машине через Казахстан ,возможно ли пересечь границу Казахстан-Киргизия по внутреннему российскому паспорту и свидетельствует о рождении с отметкой о гражданстве?

Загранпаспорт взрослым в ЕАЭС не нужен, я с внутренним паспортом КР летала и в РК, и в РФ. А вот насчет детей не в курсе, лучше наверное выяснить в соответствующих органах (погранслужба).

Доверенность нужна, т.к. это пересечение границы, как никак

Сами можете внутренним паспортом пересекать , на детей нужна доверенность . Так же по прибытию не забудьте встать на регистрацию