Подскажите, пожалуйста, куда обращаться или звонить касательно статуса заявки и получения паспортов с визой шенгена?

Можете написать заявление на возврат, найдут ;) в любом случае, такой срок - скорее всего, отказ.

Ещё можно писать письма в консульство, но они почти не отвечают. Мне в похожей ситуации ответили после письма с темой "потеряны паспорта.

А вы сходить не пробовали узнать? Говорят, у многих просто статус виснет, а паспорт уже ждет

Мы подавались 5 апреля, статус как у Вас (на старом сайте; на новом статус не отображается), неделю назад паспортов не было, пойдём уточнять, пришли ли паспорта.

А просто ногами прийти в BLS уже пробовали? Статусы для старых сдач могут не обновляться после апрельского обновления сайта BLS. Подавался 10 апреля, 8 мая забрал ногами, хотя статус был Processing at Mission