Подскажите, а может другой пассажир (моя сестра) вылететь с собачкой в Южную Корею(в паспорте я хозяйка указана и в титрах антител к бешенству, чип я оформляла.

Да, впишите сестру в паспорт как хозяйку, пусть она все спарвки на себя делате. кто в титрах владелец - не важно. А если у вас фамилии совпадают, то даже спрашивать никто не будет.