Родители собираются в Монголию на своей машине. За рулем будет папа, а машина оформлена на маму. Какие документы с собой надо? Нужна ли нотариальная доверенность?

Права и стска.

Лучше сделать доверенность у нотариуса. Спокойнее будет.

Заезжать на пост должен собственник, он же проходит процедуру досмотра и он же выезжает с поста. Или другой человек по нотариальной доверенности.

Да нормально все никакой доверенности не надо, только со всеми доками на границе ходит собственник, у меня тоже авто на супруге ноя всегда за рулём награнице она только по кабинета ходит с соркой.