Мы на границе Абхазии, подскажите, как правильно, пассажиры отдельно, водитель со своим паспортом тоже?

Да.

Водитель остается с машиной и проходит контроль сам, пассажиры выходят с доками и проходят отдельно через погран пост РФ.

Если пассажиры дети до 18 лет, то они могут остаться в машине.