Бывший муж поставил запрет на выезд ребенку. В Абхазию не пустят?

Нет.

Оспорьте через суд.

Нет.

Никуда не пустят.

Не получится никуда выехать за пределы РФ. Только договариваться с бывшим мужем или обращаться в суд с доказательствами, что вам эта поездка необходима в интересах ребенка , причин может быть много.