Подскажете пожалуйста, у меня греческий ВНЖ, если я перееду в другую страну Шенгена, например Бельгию, нужно ли будет делать местный ВНЖ.

Нужно, с картой ВНЖ Греции в других странах ЕС вы можете находиться до 90 дней.

Ну, вообще, до полугода можно жить по ВНЖ одной страны ЕС в другой. И я такие случаи знаю Только если вы работать там собираетесь, тогда придётся, не дожидаясь, менять на местное. Впрочем, внутренних границ/штампов въезда-выезда нет. Поэтому сроки когда вы въехали и сколько уже находитесь вычислить вообще не возможно))