Если работодатель подаёт за меня и мою жену документы. Он должен регистрироваться на UDI от своего имени? Или от моего? Как это происходит?

Он может создать анкету вместо вас, вроде называется power of authority, вы ставить подпись что доверяете третьему лицу, как то так, может есть какие то нюансы, давно уже подовался.

Регистрируетесь вы и ваша жена, ставите галочку, что за вас будет подавать работодатель по доверенности, заполняете в доверенности его данные.

Сначала, как и написали, она подаете заявление, а работодатель со своей стороны. У работодателя нет ваших документов.