Подскажите ездят ли такси из Батуми в Гагры.

Нет. это в принципе невозможно.

Ни в Гагру, ни в Сухум, ни в какой другой город Абхазии. Иностранцев не пускают через границу, а местные жители ездят нерегулярно и не общественным транспортом.

Ездят. Но у таксиста и у пассажира должны быть соответствующие документы, чтоб пропустили.