Скажите пожалуйста, если ребенок закончит в этом году в школе Барселоны первый курс IB (ТИЕ до конца июня) и идет учиться с октября в университет, это продление или новая подача на ВНЖ?

Мое мнение, в таких случаях всегда стоит делать продление. Но между курсами не должно быть перерыва более 90 дней, чтобы не придрались.

В Барселоне это строго новая подача, в большинстве других провинций подойдёт как продление. В Барселоне были отказы (недопуск к рассмотрению) в продлении даже при переводе с факультета на факультет, а тут вообще другая ступень. Только новая подача, не позднее чем за месяц до окончания предыдущего разрешения.