Скажите, пожалуйста, с просроченными, но продленными в силу нового закона РФ водительскими правами можно получить монгольские?

Скорее всего ваши водительские должны быть действительными по сроку, наверняка у местного компетентного органа возникнут вопросы и тем более дают они водительское удостоверение до того срока, до которого у вас ваши российские права.