Подскажите , по Российским законам продлили водительские права на три года. Можно ли проехать на территорию Монголии с таким удостоверением ?

Нет, конечно. Это другая страна и другие законы. Для другой страны имеет значение только официальная цифра в документе.

Получить новые права - дело двух дней. День справка, день права. Можно и в один день уложиться при желании

Не стоит, у меня были на 10 дней просрочены- еле еле пропустили на границе.