Планируем путешествие с животным. Если собаку везет перевозчик, его нужно вписывать как владельца в паспорт и указывать в евросправке?

Либо вписывать в паспорт, либо писать на него доверенность. В справке всегда указывается тот, кто везёт животное.

Да, документы выписываются на того, кто везет (и получает их тот, кто везет). Соотвественно перевозчик фигурирует в ветпаспорте (либо действует по доверенности), ф1 и евросправке. Если вы обращаетесь к перевозчику за деньги, уточните у него, как происходит это у него (я про паспорт и доверенность)