Можно ли пересекать границу Абхазии на авто с лнр номерами? И второй вопрос, если авто знакомого, нужно ли какие-то доверенности? Или хватит просто стс и птс с собой?

Можно Л-ДНР, доверенность нужна.

Можно. И пересекать, и по Абхазии ездить. Доверенность нужна обязательно, с текстом "с правом выезда за границу" — если только собственник не едет вместе с вами.

И обязательна нужна будет страховка местная.

Права у вас тоже ЛНР? Если вдруг российские продлённые, то они в Абхазии считаются просроченными.