Подскажите, пожалуйста, нормально если в паспорте животного указан один владелец, но с двумя разными фамилиями по двум гражданствам? На какую фамилию справка должна быть, если из России уезжаю по одной фамилии, а прибываю в нужную страну по другой?

Та фамилия, по паспорту которой вы будете проходить таможенный контроль. Если одну граница по одному, а другую по другому, то на любую, просто оба документа будете показывать. Но я советую по паспорту страны выезда, потому почти всегда главное чтобы выпустили.