Подскажите, пожалуйста, где можно открыть карту с соцкартой, договором аренды, но без подтверждённого дохода?

В таким набором, боюсь, вам только в Араратбанк. Это неплохой вариант для начала, хотя довольно дорогой. Сделайте регистрацию и можно пробовать в целом все банки из списка рекомендуемых, хотя без подтверждения доходов шансы будут ниже. Способов подтвердить доход достаточно много, может, вы что-то не учли?