Вопрос: какие можно сделать документы и как, чтобы быть с котиком всегда мобильным, можно было кататься в Европу, ездить в Россию и Кипр? Буду благодарна за информацию!

Никакие) каждый раз новые справки придется брать. Только внутри ЕС будет проще если сделаете европаспорт, тогда можно будет только по печати в этом паспрте. Но за пределы ЕС и для возрващения туда все равно нужны будут выездные документы.