Подскажите, из России трансфером через Турцию - не отдают собаку при пересадке, даже если пересадка длительная? Или можно, если зарегистрироваться сначала только на первый перелет? Но тогда надо и багаж получать/сдавать при транзите.

Вы не можете зарегистрироаться только на один сегмент, если билет единый. максимум, что вы можете сделать- попросить работников а\к выдать вам животное из багажа и уточнить, когда надо обратно сдавать. Потому что был случай, когдя хозяйка собаки опоздала с возвратом, и им пришлось переносить рейс.