Подскажите, пожалуйста, реально ли приехать на неделю в Тбилиси и успеть оформить себе карту за эту неделю?

Не именную вполне реально. Именная зависит от банка. Но за неделю можете не успеть.

Разве что кредо и паша банк Тбс рассмотрение до месяца может быть.