Ставится ли какой-нибудь штамп в паспорте, когда приезжаешь в Абхазию? Я планирую сделать грузинское гражданство, и помешает ли мне его сделать поездка в Абхазию?

Штамп не ставится...

В российский паспорт не ставятся никакие штампы, кроме прописки, брака, выданного загранпаспорта и пр. Потому что любые штампы, кроме перечисленных, делают паспорт недействительным.