Можно приехать в Доминикану с российским номером телефона и пользоваться им? А как это скажется на счетах? Для этого надо менять тариф? Какие ещё всвязи с этим могут быть нюансы?

Тут от оператора зависит. Я на Питерском мегафоне, например, спокойно получаю СМСки, а друг с МТС жалуется, что ему СМС приходят ТОЛЬКО при включенном роуминге. А роуминг тут такой, что можно вылететь в трубу.

Для получения смс и звонков службы безопасности из банка смените тариф на такой, где смс и входящие первые 10 мин в день заграницей по домашним тарифам. Для исходящих звонков приобретите местную симку.