Какие проблемы могут быть, если просто продолжать ездить с российскими правами в Черногории ? Полиция требует боровак показывать при проверке документов?

Заменить на местные нужно вам самим. Их восстанавливать в случае утраты сложно, через автошколу или в РФ. А местные муж потерял вот - и через неделю выдадут новые, цена вопроса 20 евро. Но сама замена обошлась в общей сложности в 95 евро, включая мед. комиссию и прочее.

Даже если у вас боравак, это не значит что вы тут живёте постоянно и обязаны их менять. Поэтому вроде не требуют.