Лечу в Сингапур транзитом с выходом в город, можно ли как то попросить поставить штамп в паспорте?

Нет, они не ставят никак. Если нужно подтверждение, что вы тут были - на почту визит пасс приходит, он также вроде онлайн пробивается.