Посоветуйте пожалуйста, что делать в нашей ситуации: я и сын постоянные жители Эстонии с Российским гражданством, а муж в Москве, закончился загранпаспорт, а вместе с ним и виза.

Если у вас ПМЖ Эстонии (pikaajaline) и постоянное место жительства- ЭР то ваш супруг может просто получить визу D к родственникам. Напрямую о ВНЖ тоже можно ходатайствовать через посольство , для этого не обязательно находиться внутри Эстонии.