В Узбекистане зарегистрированы и живём в квартире, которую хозяин продаёт. Новый хозяин пока продолжит нам её сдавать. Есть ли необходимость делать новую регистрацию (старая ещё не истекла), и, если надо, то с какого дня?

Это лучше спросить там, где делали регистрацию. Но что-то наводит на мысль, что надо бы. Сделал один хозяин регистрацию, теперь там другой хозяин, который может имеет своё мнение по этому вопросу. Чтобы никаких казусов не случилось.

Регистрацию - нет. А вот договор аренды с новым хозяином надо бы заключить, письменно зафиксировав все нюансы вроде сроков аренды, их продления, оплаты коммуналки. Причем желательно либо обсудить детали на троих с прежним, новым хозяевами и вами.