Банк BOG в Тбилиси требует апостилированную доверенность для совершения операций в банке на доверенное лицо без моего присутствия.

Правильно, с Грузией действует соглашение, поэтому если Вы будете просить апостиль именно для Грузии его вам вряд ли поставят. Просите для другой страны. Штамп единого образца, на нём не будет указано для какой страны Вы его запрашивали - хоть Аргентина, хоть Германия, разницы нет, он везде будет иметь силу. Я с необходимостью предоставления апостилированных документов пока не сталкивался, но перед переездом в Грузию на всякий случай сделал, как минимум для того чтобы потом в других странах проблем не было.