А при покупке авто в Грузии (на грузинских номерах) какой-то документ купли-продажи составляется? Если да, то есть ли образец?

Не составляется. Всё дружно топают в полицию.

Составляется, если хотите себя обезопасить. Прописываете те условия, которые для Вас важны. И если после окажется, что обманули, сможете продавцу выставить претензию за нарушение договора. Если просто переоформляете, тогда придется ссылаться на словесный договор. А так-то ТС переоформляется на основании либо ДКП, либо дарения. Элементарно нормы договорного права.