Допустили большую просрочку пребывания в Турции, вероятнее всего будет запрет. Скажите, ставят ли запрет в паспорт в виде штампа или только в свою систему? Может ли быть запрет въезда в Грузию из-за просрочки пребывания в Турции?

Паспорт не портят, запрет в системе. Однако некоторое время назад грузины на сухопутной (!) границе довольно жестко реагировали на просрочников из Турции, вплоть до того, что не пускали в страну. Как сейчас — не знаю, если честно.