Подскажите, в случае когда одобряется заявка на ВНЖ - дается некий ограниченный срок на посещение дома юстиции для его получения + прописки?

За границу выезжать не рекомендуется. А по поводу приезда в Юстицию после одобрения заявки ограничений нет в разумных пределах, через месяц наверное уже будет многовато.

Обычно месяц на прописку. Ее можно оформить в любом городе Грузии, просто Вы идете в Юстиуцию в своем городе, а подтверждают ее уже в другом.