Со штампом теперь можно с Фукуока ехать/лететь на материк? Проверяют все так же документы при выезде с острова?

По идее, да, чтобы попасть сначала на Фукуок, проверяют же новый штамп. Пока не оверстей, проблемы быть не должно.

Проверяют при выезде.

Проверяют срок действия штампа/визы/ паспорта, чтобы не было просрочек.