Подскажите, кто знает, в каком банке можно оформить договор аренды банковского сейфа (ячейки)?

Почти во всех. Но желательно, что у вас там был открыт счет (в некоторых банках это обязательное условие), и нужно спросить, есть ли свободные ячейки. Могут поставить на очередь.