Обязательно ли работать по договору или можно просто проводить доход через счет ИП и платить налог. Например, по счету?

Обязательства заключать договора - нет. Но если банк либо налоговая захочет проверить Вашу деятельность/транзакции, Вам необходимо будет предоставить доказательства ее легальности, официальности и соответствия заявлений. Обычно это договора. Если их не будет, то Вы ничего не сможете предоставить.