При подаче нотариальный договор аренды забирают или оставляют? если подаваться потом семье, надо сразу несколько копий делать или одной достаточно?

Да, лучше несколько экземпляров сделать.

Забирают, по копии делайте на всех членов семьи + 2.

Забирают, да. советую сделать на всех по одному + 2 на всякий случай.