Если я учусь на фаундейшене в одном университете Италии, но потом захочу поступить, по окончанию, в другой университет, мне следует заново подавать на визу в моей стране?

Нет, не нужно. Просто поступаете в другой университет. Когда на руках будут документы о зачислении, то собираете снова полный пакет документов, покупаете КИТ на почте и отправляете в квестуру. Если не знаете, какие документы, можете посмотреть на сайте своего университета или обратиться в отдел, который занимается иностранными студентами. Но документы все те же, что Вы и в первый раз отправляли в квестуру. Выезжать из страны, делать визу и возвращаться не нужно. Главное, чтобы Ваше пермессо действовало или ричевута была на руках.