Если действие загранпаспорта заканчивается в сентябре, а поездку в Турцию планируем в начале июня, могут ли возникнуть проблемы при въезде?

Если меньше 120 дней- то да, могут не пустить на рейс; могут не пустить пограничники в турции. Случаев немало. Иногда везет и пропускают, ну это уже на свой страх и риск, если не страшно потерять деньги за отпуск.