Подскажите, решил сам подать заявление на ETA, но не могу установить дату, что делать?

Попробуйте не переводить страницу в браузере и использовать англ версию сайта, дату выбирать из выпадающего календаря.

Подавайте заявление не на русской страницы а на английской.