Можно подать на загран в Бишкеке, имея только казахское РВП? Там действительно требуют обязательную кыргызскую регистрацию проживания?

Удивительно было бы, если бы они требовали иную!

У них вроде как на сайте при регистрации заявки на паспорт надо указывать местный адрес и они как-то проверяют и иногда сбрасывают заявки

Не требуют, просто говорят, что туристам надо бы ехать по месту жительства, а вашего российского удаленного работодателя не пропустит мвд, половина вас тут таких приходит почему-то...