Если заехал в Казахстан по российскому паспорту и хочу улететь, в аэропорту выходить тоже по российскому?

Смотря куда) лучше показать оба паспорта.

Лучше сделайте загранник в российском консульстве/посольстве в Казахстане.

Если будете вылетать в Европейскую страну - определенно спросят) Вообще, это будет еще на этапе регистрационной стойки. Сотрудники авиакомпании будут проверять Ваши документы, наличие визы (если применимо) и действительный загранпаспорт. Если у вас будет только внутренний паспорт РФ, вас даже не зарегистрируют и не допустят к окошку прохождения границы .