Может подскажите, как организовать доставку с алиэкспреса, если нет своего адреса в Батуми? Может есть какие-то точки куда могут доставить?

Указывайте адрес почты, схема рабочая.

Адрес почты вписываете вам удобной и индекс. Все. У нас не важно какой адрес, забирать все равно на почте, курьеры кривые максимально у них. Приедут, не предупредив, все напутали, уедут, через 2 дня скажут забирать на почте.