Если я уезжаю из Армении, а у меня в загранпаспорте прописка. Я должен как-то "сняться с учета", или можно просто так ехать?

Ничего не надо.

Смотря куда едете. Германия, например, внимательно на это смотрит и требует выписаться в предыдущей стране. А с точки зрения Армении в общем-то пофигу. Хозяин квартиры на досуге зайдет в паспортный стол и выпишет, чтобы за вывоз мусора не платить. А можете и сами зайти.