Подскажите пожалуйста, получив шенгенскую визу в Армении например под поездку на 14 дней, но начать оформление дилжитпл номада сразу по приезду, в любом случае будет просрочка нахождения в шенгенской зоне, это влияет на что-то?

Если вы успели подать документы, то все ок. Выезжать из страны не сможете, если только на авто по Шенгену.

С момента подачи документов до вынесения решения вы легально находитесь, это не просрочка, но если будет отказ надо будет быстро сваливать )

Не будет просрочка, я так же с короткой визой буду на ВНЖ подавать в Венгрии, рассмотрение до 3 месяцев, но находиться легально можно будет, но только там.

можно просрочить туристическую, если документы поданы.