Хотим выехать на машине из Грузии по одному загранпаспорту, а в Армении показать новый второй загранпаспорт, т. к.

Я бы не стала так делать. Это обязательно заметят и будет ещё больше вопросов. Если вы граждане РФ и когда-то ездили в Азербайджан, это будет вам внимание и дополнительный допрос, но в итоге должны пустить. Неприятно, но не страшно. Процент отказов въезда в Армению микроскопический. Сейчас больше отказов во въезде в Грузию.