Работаю в Польше официально, работодатель платит налоги. Это значит, что я по дефолту могу записаться и пойти в NFZ или надо, как в России, получить бумажную мед страховку?

Надо прикрепиться на pacjent. gov. pl, там же можно проверить все ли ок со страховкой.

Ваш номер песель содержит всю информацию о вас и является подтверждением того, что вы платите страховку и имеете право на публичное здравоохранение. Никакого бумажного полиса не нужно.