Скажите, в Казахстане какие документы требовать от владельца квартиры при заселении? Как правильно вообще снимать?

Удостоверение как минимум. В идеале подтверждение права собственности. Договор с описью имущества и его состояния.

Договор аренды и пусть покажет тех паспорт, на кого оформлена кв.