Есть ли какой-то контракт на детский патронаж на первые месяцы? Условно, если я хочу, чтобы неонатолог приходил и проверял ребенка с какой-то периодичностью, куда обратиться?

Так в целом обычно не делают - приходят к врачу с ребёнком. Первый раз примерно через неделю после родов, потом раз в месяц до года. Можно сделать платную страховку. Возможно, в дорогие планы страховок может и входить приход врача на дом сколько-то раз. В не самых дорогих планах страховок есть вызов врача на дом с оплатой "copay" - то есть часть оплачивает страховая, часть Вы. Но не уверена, что это можно сделать подобием "патронажа", этот рассчитано скорее на случай болезни.