Возможно ли получить визу в Грецию и по ней улететь в Италию? На сайте посольства написано, что нет свободных дат для запрошенной услуги на получение шенгена

Можно, конечно. Это ж Шенген. Но дадут Вам его только на даты поездки, получается тогда, что в Грецию Вы не попадаете, и в след раз Вам откажут в Греции. Но вот поймать Слот сложно. В Италию, кстати, еще сложнее. Там нет дат до января 24 года.