Планируем семьёй поехать в Абхазию, пропустят ли нас с Грузинской фамилией?

Скорее всего нет.

50 на 50, лучше заранее в гос органы обратиться.

Нет. Делать запрос на разрешение въезда.

Ехала в поезде с женщиной с грузинской фамилией - у нее потребовали свидетельство о рождении, что она родилась не на территории Грузии, а в Москве. Она, видимо, не в первый раз ездит и свидетельство было с собой.