Если в Грузии жить по контракту аренды до конца этого контракта, последний месяц не надо оплачивать, так как при заезде он был уже оплачен?

Ну да, в договоре если указано, что предоплата за первый и 12-й месяцы, то просто этот 12-й месяц не оплачиваешь. Ну или на какой срок договоривались. Важно, чтобы в контракте был указан именно этот месяц. У меня проблем не возникало, по крайней мере.