Подскажите, чтобы обновить время пребывания в Казахстане нужно пересекать границу с РФ?

Нет можно на день в Кыргызстан либо Узбекистан либо Грузию и заново залететь, обнулится. По крайней мере у американцев так было на опыте.

С любой другой страной.

Да. 90 дней-это с регистрацией. Без регистрации гостить можете 30 дней. Потом вы выезжаете в РФ точно не помню на 60 или на 90 дней и через 2-3 месяца можете снова возвращаться в КЗ ещё на 90 дней.