На машине в Турцию на неделю хотел поехать за семьёй. Столько проблем прочитал, неужели будут большие проблемы?

У вас не должно быть проблем с турецкой таможней, если вы на короткий срок приедете. В принципе вы можете до 90 дней находиться с машиной в Турции(60 дней точно). Вы из какого региона России? Грузинские пограничники не всех из РФ пускают. С этим может быть проблема.